Question

20．在学校组织的“环保知识”竞赛活动中，甲、乙两班6名参赛选手的成绩的茎叶图受到不同程度的污损，如图：
（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率；
（Ⅱ）若甲班污损的学生成绩是90分，乙班污损的学生成绩为97分，现从甲乙两班所有选手成绩中各随机抽取2个，记抽取到成绩高于90分的选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学成绩．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲班前5位选手的总分为450，乙班前5位选手的总分为443，若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：（90，98），（90，99），（91，99）三种情况，即可得出乙班总分超过甲班的概率．
（II）（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式，进而得出分布列与数学期望．

解答 解：（Ⅰ）甲班前5位选手的总分为：87+89+90+91+93=450，
乙班前5位选手的总分为：82+85+92+91+93=443，
若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：
（90，98），（90，99），（91，99）三种情况，
∴乙班总分超过甲班的概率P=$\frac{3}{10×10}$=$\frac{3}{100}$．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{6}^{2}•{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，
P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{2}^{1}•{∁}_{4}^{1}•{∁}_{2}^{2}+{∁}_{4}^{2}•{∁}_{4}^{1}•{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{5}•{∁}_{6}^{5}}$=$\frac{56}{225}$，
P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{4}^{2}{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{6}^{2}•{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{101}{225}$，
P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{2}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{6}^{2}{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，
P（ξ=4）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{6}^{2}{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{6}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{101}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{6}{225}$

∴E（ξ）=0×$\frac{6}{225}$+1×$\frac{56}{225}$+2×$\frac{101}{225}$+3×$\frac{56}{225}$+4×$\frac{6}{225}$=2．

点评 本题考查了茎叶图的性质、相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．