Question

7．已知数列{a_n}满足a_n=2+1+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$，则a₁₀₁-a₁₀₀的整数部分为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据条件求出a₁₀₁-a₁₀₀的表达式，并判断a₁₀₁-a₁₀₀的取值范围即可得到结论．

解答 解：∵a_n=2+1+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$，
∴a₁₀₀=2+1+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}}$，
a₁₀₁=2+1+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}}$+$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$，
则a₁₀₁-a₁₀₀=$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$，
∵$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$＜$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+$\frac{2}{{2}^{100}+1}$…+$\frac{2}{{2}^{100}+1}$=$\frac{2×{2}^{100}}{{2}^{100}+1}$＜2，

$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$＞$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$=$\frac{2×{2}^{100}}{{2}^{100}+{2}^{100}}$=1，
即$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$∈（1，2），
故a₁₀₁-a₁₀₀的整数部分为1，
故选：B

点评 本题主要考查数列的递推关系的应用，根据条件求出a₁₀₁-a₁₀₀的表达式，并判断a₁₀₁-a₁₀₀的取值范围是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．