Question

12．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinx-acosx$（x∈R）的图象经过点$（{\frac{2π}{3}，1}）$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设α，$β∈[{0，\frac{π}{2}}]$，$f（{α-\frac{π}{6}}）=\frac{6}{5}$，$f（{β+\frac{5π}{6}}）=-\frac{10}{13}$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）的解析式，代入点$（\frac{2π}{3}，1）$的坐标，解得a的值，从而可求函数f（x）的解析式．
（2）由f（x）=$2sin（x+\frac{π}{6}）$可由$f（{α-\frac{π}{6}}）=\frac{6}{5}$解得sinα的值，利用三角函数恒等变换化简$f（{β+\frac{5π}{6}}）=-\frac{10}{13}$可得sinβ的值，结合范围$α，β∈[0，\frac{π}{2}]$，利用同角三角函数关系式可求cosα，cosβ的值，由两角和与差的余弦函数公式即可得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由函数f（x）的图象经过点$（\frac{2π}{3}，1）$，
则$\sqrt{3}sin\frac{2π}{3}-acos\frac{2π}{3}=1$．解得a=-1，
因此$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx$．
（2）$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx$=$2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）$=$2sin（x+\frac{π}{6}）$，
∵$f（α-\frac{π}{6}）=2sin（α-\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）=2sinα=\frac{6}{5}$，
∴$sinα=\frac{3}{5}$，
∵$f（β+\frac{5}{6}π）=2sin（β+\frac{5π}{6}+\frac{π}{6}）=2sin（{α+π}）=-2sinβ=-\frac{10}{13}$，
∴$sinβ=\frac{5}{13}$，
又$α，β∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$cosα=\sqrt{1-sin{α^2}}=\frac{4}{5}$，$cosβ=\sqrt{1-sinβ}=\frac{12}{13}$，
∴$cos（{α-β}）=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{63}{65}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于中档题．