Question

在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：8x+6y+1=0，圆C₁：x²+y²+8x-2y+13=0，圆C₂：x²+y²+8tx-8y+16t+12=0．
（1）当t=-1时，试判断圆C₁与圆C₂的位置关系，并说明理由；
（2）若圆C₁与圆C₂关于直线l对称，求t的值；
（3）在（2）的条件下，若P（a，b）为平面上的点，是否存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁与圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求得两圆的圆心距，与半径半径，即可求得结论；
（2）确定圆C₂的圆心与半径，两圆圆C₁与圆C₂关于直线l对称，直线l的斜率，可求t的值；
（3）利用圆C₁与圆C₂的半径相等，又直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，可得圆C₁的圆心到直线l₁距离，和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，由此可得结论．

解答：解：（1）t=-1时，圆C₁的圆心C₁（-4，1），半径r₁=2；圆C₂的圆心C₂（4，4），半径r₂=2
∴圆心距|C₁C₂|=

73

＞r₁+r₂=8
∴两圆相离
（2）圆C₂的圆心C₂（-4t，4），半径r₂=

16t2-16t+4

∵圆C₁与圆C₂关于直线l对称，又直线l的斜率k1=-

4

3

由

4-1 -4t+4 = 3 4 8× -4t-4 2 +6× 4+1 2 +1=0 16t2-16t+4=4

得t=0；，
（3）假设存在P（a，b）满足条件：不妨设l₁的方程为y-b=k（x-a）（k≠0）
则l₂的方程为y-b=-

1

k

(x-a)
因为圆C₁与圆C₂的半径相等，又直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，
所以圆C₁的圆心到直线l₁距离，和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，
即

|-4k-1+b-ka|

k2+1

=

|4-b- a k |

1+ 1 k2

整理得|（a+4）k-b+1|=|（b-4）k+a|
即（a+4）k-b+1=（b-4）k+a或（a+4）k-b+1=（4-b）k-a
即（a-b+8）k-a-b+1=0或（a+b）k+a-b+1=0
因为k取值无穷多个
所以

a-b+8=0 -a-b+1=0

或

a+b=0 a-b+1=0

解得

a=- 7 2 b= 9 2

或

a=- 1 2 b= 1 2

∴这样的点P可能是P₁（-

7

2

，

9

2

），P₂（-

1

2

，

1

2

）
∴所求点P的坐标为（-

7

2

，

9

2

）和（-

1

2

，

1

2

）．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的对称性，考查存在性问题的探求，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．