Question

设a∈R，若函数y=e^ax+3x（x＞0）存在极值，则a取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由题得eax=-

3

a

在（0，+∞）上有解，因为e^ax＞0所以-

3

a

＞0，所以a＜0．又因为x∈（0，+∞）且a＜0，所以0＜e^ax＜1，所以0＜-

3

a

＜1．所以a＜-3．

解答：解：由题意得y′=ae^ax+3
因为函数y=e^ax+3x（x＞0）存在极值
所以ae^ax+3=0在（0，+∞）上有解，
即eax=-

3

a

在（0，+∞）上有解，
因为e^ax＞0所以-

3

a

＞0
所以a＜0
又因为x∈（0，+∞）且a＜0
所以0＜e^ax＜1
所以0＜-

3

a

＜1
所以a＜-3
所以a取值范围为（-∞，-3）．
故答案为：（-∞，-3）．

点评：本题借助于函数有极值考查方程的有解问题，解决此类问题的关键是根据题意把存在极值问题转化为方程有解问题，利用函数的值域求参数的范围．