Question

【题目】已知四棱锥中，底面，，，，是中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线和平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：(1)首先在相应的平面内借助于三角形的中位线，得到对应的平行线，再根据线面平行的判定定理证得线面平行的结果；

(2)利用几何体中的垂直关系，建立相应的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量所成角的余弦值的绝对值求得对应的线面角的正弦值.

详解：（1）证明：取的中点，连接、，

∵、分别为、的中点，

∴，且，

又∵，

∴且，

∴ ，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面．

（2）以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标，，，，，，，

设平面的一个法向量，

，，

∴即令，则，，，

设直线与平面所成角为，

．