Question

四边形ABCD是梯形，•=0，与共线，A，B是两个定点，其坐标分别为（-1，0），（1，0），C、D是两个动点，且满足|CD|=|BC|．
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P，过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M，N两点，求四边形CMPN面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由•=0，与共线可知四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，对称轴为x轴的抛物线．由此能求出动点C的轨迹E的方程．
（Ⅱ）设直线BC方程y=k（x-1），由，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，设P（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由韦达定理结合题设条件能求出四边形CMPN面积的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由•=0，与共线可知，
四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，
所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，
对称轴为x轴的抛物线．
设动点C的轨迹E的方程y²=2px（p＞0），
则p=|AB|=2
所以动点C的轨迹E的方程是y²=4x（x≠0，x≠1）…（3分）
（Ⅱ）设直线BC斜率为k，
由题意知，k存在且k≠0，
直线BC的方程y=k（x-1）
依题意，
∴k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设P（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
则，x₁x₂=1，

直线MN垂直于直线BC，
以-替代上式中的k，得|MN|=4（k²+1）…（7分）
∴
=
=
=
=
∵
四边形CMPN面积的最小值等于32． …（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是圆锥曲线知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．