Question

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数g（x）在（-∞，0）内为单调递减函数，且g（x•y）=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立，g（2）=1．
（1）证明g（x）在（0，+∞）内为单调递增函数
（2）求g（4）的值；
（3）求满足条件g（x）＞g（x+1）+2的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设0＜x₁＜x₂，则0＞-x₁＞-x₂，利用偶函数的关系式和单调性进行转化，得到g（x₁）＜g（x₂），即得证；
（2）由g（x•y）=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立及g（2）=1，取x=y=2可求g（4）；  
（3）结合（2）和已知把不等式化为g（x）＞g[4（x+1）]，g（x）为偶函数，且在（-∞，0）为单调递减函数，可得g（x）在（0，+∞）为单调递增函数．从而可得|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0，解不等式可求x的取值范围．

解答：解：（1）设0＜x₁＜x₂，则0＞-x₁＞-x₂，
∵g（x）在（-∞，0）为单调递减函数，∴g（-x₁）＞g（-x₂），
∵g（x）为偶函数，∴-g（x₁）＞-g（x₂），即g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）在（0，+∞）为单调递增函数．
（2）令x=y=2代入g（x•y）=g（x）+g（y）得，
g（4）=g（2×2）=g（2）+g（2）=2，
（3）∵g（x）＞2+g（x+1）=g（4）+g（x+1）=g[4（x+1）]
∵g（x）为偶函数，∴g（|x|）＞g[|4（x+1）|]
由（1）得，g（x）在（0，+∞）为单调递增函数，
∴

x≠0 x+1≠0 |x|＞|4(x+1)|

解得-

4

3

＜x＜-1或-1＜x＜-

4

5

，
综上x的取值范围为(-

4

3

，-1)∪(-1，

4

5

)．

点评：本题考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，偶函数在对称区间上的单调性的证明，解决本题的关键是由偶函数y=g（x）在（0，+∞）单调递增，g（a）＞g（b）可得|a|＞|b|，考生容易漏函数的定义域，从而误写为a＞b．