【题目】如图,在等腰梯形中,,,,E,F分别为,边的中点.现将沿着折叠到的位置,使得平面平面.
(1)证明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)在等腰梯形中,,,,E,F分别为、边的中点,易证为等边三角形,,根据平面平面
易证平面,再由平面,故平面平面.
(2)取的中点O,易证平面,再证明,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求平面的法向量和平面的法向量,再求这两个法向量夹角余弦值的绝对值,结合观察图形,可求二面角的余弦值.
解:(1)证明:如图,连接,
∵E为的中点,故且,
故四边形为平行四边形,,
所以为等边三角形. 同理可证为等边三角形,
所以为等边三角形,
∵在等腰梯形中,,,
为等边三角形,F为的中点,
故,即.
又∵平面平面,且平面平面,
故平面. 又∵平面,
故平面平面.
(2)取的中点O,连接,,
∵,∴.
又∵平面平面,且平面平面,
∴平面,为等边三角形,故.
如图,以O为坐标原点,为x轴,为y轴,
为z轴建立空间直角坐标系.
,,,
,.
设平面的法向量为
故解得.
设平面的法向量为,
则,
∵为锐二面角,
故二面角的余弦值为.
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【题目】设函数,已知方程(为常数)在上恰有三个根,分别为,下述四个结论:
①当时,的取值范围是;
②当时,在上恰有2个极小值点和1个极大值点;
③当时,在上单调递增;
④当时,的取值范围为,且
其中正确的结论个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
(1)完成下列列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;
生二孩 | 不生二孩 | 合计 | |
头胎为女孩 | 60 | ||
头胎为男孩 | |||
合计 | 200 |
(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户,进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数的分布列及数学期望.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中).
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【题目】已知命题的展开式中,仅有第7项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为495;命题随机变量服从正态分布,且,则.现给出四个命题:①,②,③,④,其中真命题的是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣sinx+ax(a>0).
(1)若a=1,求证:当x∈(1,)时,f(x)<2x﹣1;
(2)若f(x)在(0,2π)上有且仅有1个极值点,求a的取值范围.
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【题目】2020年是我国垃圾分类逐步凸显效果关键的一年.在国家高度重视,重拳出击的前提下,高强度、高频率的宣传教育能有效缩短我国生活垃圾分类走入世界前列所需的时间,打好垃圾分类这场“持久战”,“全民战”.某市做了一项调查,在一所城市中学和一所县城中学随机各抽取15名学生,对垃圾分类知识进行问答,满分为100分,他们所得成绩如下:
城市中学学生成绩分别为:73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85
县城中学学生成绩分别为:60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72
(1)根据上述两组数据在图中完成两所中学学生成绩的茎叶图,并通过茎叶图比较两所中学学生成绩的平均分及分散程度;(不要求计算出具体值,给出结论即可)
(2)记这30名学生成绩80分以上为良好,80分以下为一般,完善表格,并判断是否有99%的把握认为该城市中学和县城中学的学生在了解垃圾分类知识上有差异?(结果保留三位小数)
学生成绩 | 良好 | 一般 | 合计 |
城市中学学生 | |||
县城中学学生 | |||
合计 |
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆,经过点且斜率为的直线与相交于两点,与轴相交于点.
(1)若,且恰为线段的中点,求证:线段的垂直平分线经过定点;
(2)若,设分别为 的左、右顶点,直线、相交于点.当点异于时,是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
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【题目】过双曲线C:1(a>0,b>0)右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为P,与双曲线交于点A,若 ,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x
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