Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F₂（2$\sqrt{2}$，0），且过点P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{30}}{3}$）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当m为何值时，直线l：y=$\sqrt{3}$x+m与椭圆相交，并求此时相交弦的中点坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：2a=丨PF₁丨+丨PF₂丨=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$，求得a，由c=2$\sqrt{2}$，则b²=a²-c²=4，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，即可求得直线l：y=$\sqrt{3}$x+m与椭圆相交，由韦达定理求得x₁+x₂=$\frac{-6\sqrt{3}m}{10}$，x₁•x₂=$\frac{3（{m}^{2}-4）}{10}$，根据中点坐标公式即可求得
弦的中点坐标．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知2a=丨PF₁丨+丨PF₂丨=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴a=2$\sqrt{3}$，…（2分）
又c=2$\sqrt{2}$，则b²=a²-c²=4，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…（4分）
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：10x²+6$\sqrt{3}$mx+3（m²-4）=0．…（6分）
则△=108m²-120（m²-4）=480-12m²＞0，
∴-2$\sqrt{10}$＜m＜2$\sqrt{10}$，…（8分）
设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为（x₀，y₀），
则x₁+x₂=$\frac{-6\sqrt{3}m}{10}$，x₁•x₂=$\frac{3（{m}^{2}-4）}{10}$，…（9分）
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3\sqrt{3}m}{10}$，y₀=$\sqrt{3}$x₀+m=$\frac{m}{10}$，
即中点坐标为（-$\frac{3\sqrt{3}m}{10}$，$\frac{m}{10}$）．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式，考查转化思想，属于中档题．