Question

10．已知△ABC中，$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），|$\overrightarrow{CP}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=1，点Q是边AB（含端点）上一点且$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{2}$，则|$\overrightarrow{CQ}$|的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 据题意即可得到AC⊥BC，从而可分别以CB，CA为x，y轴，建立平面直角坐标系，然后设A（0，a），B（b，0），Q（x，y），从而得到P（$\frac{b}{2}，\frac{a}{2}$），这样便可得到（x，y）•（b，a）=bx+ay=1，这即可得到（x²+y²）（a²+b²）≥（bx+ay）²，进而得到${x}^{2}+{y}^{2}≥\frac{1}{4}$．可写出直线AB的方程为$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，进而得出$1=（bx+ay）（\frac{x}{b}+\frac{y}{a}）$，这便可得到x²+y²≤1，从而便可得出$|\overrightarrow{CQ}|$的取值范围．

解答 解：根据题意知，AC⊥BC，则以CB，CA分别为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系：

设A（0，a），B（b，0），Q（x，y）；
|AB|=2，∴a²+b²=4；
$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$；
∴P为AB中点，则$P（\frac{b}{2}，\frac{a}{2}）$；
∴$\overrightarrow{CQ}•\overrightarrow{CP}=（x，y）•（\frac{b}{2}，\frac{a}{2}）=\frac{bx}{2}+\frac{ay}{2}=\frac{1}{2}$；
∴（x，y）•（b，a）=bx+ay=1；
∴（x²+y²）（a²+b²）≥（bx+ay）²=1；
∴4（x²+y²）≥1；
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≥\frac{1}{2}$；
∴$|\overrightarrow{CQ}|≥\frac{1}{2}$；
又$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$；
∴$1=（bx+ay）（\frac{x}{b}+\frac{y}{a}）$=${x}^{2}+{y}^{2}+（\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）xy$；
∵a＞0，b＞0，x≥0，y≥0；
∴x²+y²≤1；
即$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤1$；
综上得，$\frac{1}{2}≤|\overrightarrow{CQ}|≤1$；
∴$|\overrightarrow{CQ}|$的取值范围为$[\frac{1}{2}，1]$．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 考查直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，以及通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量坐标，中点坐标公式，向量数量积的坐标运算及计算公式，以及直线的斜截式方程．