Question

如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点,
记△的面积为，△（为原点）的面积为，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）的取值范围是．

试题分析：（Ⅰ）解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为   1分
则 ．                          2分
将  代入 ，
解得 ．                                    3分
所以椭圆的离心率为 ．                     4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为．          5分
设，．
依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入
得 ．            7分
则 ，，
．                     8分
因为 ，
所以 ，．              9分
因为 △∽△，
所以           11分
．                13分
所以的取值范围是．                   14分
点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。对于三角形面积计算问题，注意应用已有垂直关系及弦长公式。本题应用韦达定理，简化了解题过程。