Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，对一切正整数n，点（n，S_n）都在函数f（x）=2^x+2-4的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）要求数列的通项公式，当n大于等于2时可根据数列的前n项的和减去数列的前n-1项的和求出，然后把n=1代入验证；
（II）要求数列{b_n}的前n项和T_n．可先求出该数列的通项公式，列举出数列的各项，然后利用错位相减法得到数列的前n项的和即可．

解答：解：（I）由题意，S_n=2ⁿ⁺²-4，n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹
当n=1时，a₁=S₁=2³-4=4，也适合上式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹，n∈N^*；
（II）∵b_n=a_nlog₂a_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹①
2T_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²②
②-①得，T_n=-2³-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-23-

23(1-2n-1)

1-2

+(n+1)•2n+2
=-2³-2³（2^n-1-1）+（n+1）•2ⁿ⁺²=（n+1）•2ⁿ⁺²-2³•2^n-1
=（n+1）•2ⁿ⁺²-1ⁿ⁺²=n•2ⁿ⁺²．

点评：本题考查了利用做差法求数列通项公式，利用错位相减法求数列的前n项的和，以及利用等比数列的前n项和的公式，学生做题时应注意利用做差法时讨论n的取值．