Question

【题目】已知函数，其中为常数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求证：有且仅有两个零点；

（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）x－y＝0；（2）详见解析；（3）4；

【解析】

试题分析：（1）求出f （1），即切线的斜率，可由点斜式得直线方程；（2）用导数研究函数的单调性，再由零点存在性定理说明零点的个数；（3）不等式恒成立问题一般可以先参数分离，再求函数的最值，这样可以避免讨论求最值，本题在求最值时需要二次求导和估值来确定函数的最值；

试题解析：（1）当k＝0时，f（x）＝1＋lnx．

因为f （x）＝，从而f （1）＝1．

又f （1）＝1，

所以曲线y＝f（x）在点 （1，f（1））处的切线方程y－1＝x－1，

即x－y＝0．

（2）当k＝5时，f（x）＝lnx＋－4．

因为f （x）＝，从而

当x∈（0，10），f ′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，＋∞）时，f ′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以当x＝10时，f（x）有极小值．

因f（10）＝ln10－3＜0，f（1）＝6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．

因为f（e4）＝4＋－4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．

从而f（x）有两个不同的零点．

（3）方法一：由题意知，1+lnx－＞0对x∈（2，＋∞）恒成立，

即k＜对x∈（2，＋∞）恒成立．

令h（x）＝，则h（x）＝．

设v（x）＝x－2lnx－4，则v（x）＝．

当x∈（2，＋∞）时，v（x）＞0，所以v（x）在（2，＋∞）为增函数．

因为v（8）＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v（9）＝5－2ln9＞0，

所以存在x0∈（8，9），v（x0）＝0，即x0－2lnx0－4＝0．

当x∈（2，x0）时，h（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，＋∞）时，h（x）＞，h（x）单调递增．

所以当x＝x0时，h（x）的最小值h（x0）＝．

因为lnx0＝，所以h（x0）＝∈（4，4.5）．

故所求的整数k的最大值为4．

方法二：由题意知，1+lnx－＞0对x∈（2，＋∞）恒成立．

f（x）＝1+lnx－，f （x）＝．

①当2k≤2，即k≤1时，f（x）＞0对x∈（2，＋∞）恒成立，

所以f（x）在（2，＋∞）上单调递增．

而f（2）＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求．

②当2k＞2，即k＞1时，

当x∈（2，2k）时，f ′（x）＜0， f（x）单调递减，当x∈（2k，＋∞），f ′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以当x＝2k时，f（x）有最小值f（2k）＝2＋ln2k－k．

从而f（x）＞0在x∈（2，＋∞）恒成立，等价于2＋ln2k－k＞0．

令g（k）＝2＋ln2k－k，则g（k）＝＜0，从而g（k） 在（1，＋∞）为减函数．

因为g（4）＝ln8－2＞0，g（5）＝ln10－3＜0 ，

所以使2＋ln2k－k＜0成立的最大正整数k＝4．

综合①②，知所求的整数k的最大值为4．