【题目】已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max,H2(x)=min
(max
表示p,q中的较大值,min
表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )
A.16B.-16
C.a2-2a-16D.a2+2a-16
【答案】B
【解析】
先作差得到h(x)=f(x)﹣g(x)=2(x﹣a)2﹣8.分别解出h(x)=0,h(x)>0,h(x)<0.画出图形,利用新定义即可得出H1(x),H2(x).进而得出A,B即可.
令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2(a+2)x+a2﹣[﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2(x﹣a)2﹣8.
①由2(x﹣a)2﹣8=0,解得x=a±2,此时f(x)=g(x);
②由h(x)>0,解得x>a+2,或x<a﹣2,此时f(x)>g(x);
③由h(x)<0,解得a﹣2<x<a+2,此时f(x)<g(x).
综上可知:
(1)当x≤a﹣2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x﹣(a+2)]2﹣4a﹣4,
H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=﹣[x﹣(a﹣2)]2﹣4a+12,
(2)当a﹣2≤x≤a+2时,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x);
(3)当x≥a+2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x),
故A=g(a+2)=﹣[(a+2)﹣(a﹣2)]2﹣4a+12=﹣4a﹣4,B=g(a﹣2)=﹣4a+12,
∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣(﹣4a+12)=﹣16.
故选:B.
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【题目】光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点,
的椭圆
与双曲线
构成,现一光线从左焦点
发出,依次经
与
反射,又回到了点
,历时
秒;若将装置中的
去掉,此光线从点
发出,经
两次反射后又回到了点
,历时
秒;若
,则
与
的离心率之比为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆过点
,且离心率为
.过抛物线
上一点
作
的切线
交椭圆
于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使得
,若存在,求出
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知M(x1,y1)是椭圆=1(a>b>0)上任意一点,F为椭圆的右焦点.
(1)若椭圆的离心率为e,试用e,a,x1表示|MF|,并求|MF|的最值;
(2)已知直线m与圆x2+y2=b2相切,并与椭圆交于A、B两点,且直线m与圆的切点Q在y轴右侧,若a=4,求△ABF的周长.
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【题目】如图,在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下列四个结论不成立的是 ( )
A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面PAE D. 平面PDE⊥平面ABC
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【题目】以下给出五个命题,其中真命题的序号为______
①函数在区间
上存在一个零点,则
的取值范围是
或
;
②“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”;
③,
;
④若,则
;
⑤“”是“
成等比数列”的充分不必要条件.
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【题目】已知函数的最大值为
,
的图像关于
轴对称.
(1)求实数,
的值.
(2)设,则是否存在区间
,使得函数
在区间
上的值域为
?若存在,求实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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