Question

光线l过点P（1，-1），经y轴反射后与圆C：（x-4）²+（y-4）²=1相切，求光线l所在的直线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,点到直线的距离公式

专题：计算题

分析：由圆C的方程找出圆心C的坐标及圆的半径r，设光线l与y轴的交点为Q，点P关于y轴的对称点为P′，根据与y轴对称点的特点写出P′的坐标，由光学知识可知直线P′Q为反射线所在的直线，且为圆C的切线，设直线P′Q的斜率为k，由P的坐标表示出直线P′Q，根据光线l经y轴反射后与圆C相切，得到圆心到直线P′Q的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，再由由光线l与P′Q关于y轴对称可得光线l的斜率，最后由P的坐标及求出的光线的斜率写出光线l的方程即可．

解答： 解：由圆C：（x-4）²+（y-4）²=1，得到圆心C（4，4），半径r=1，
设光线l与y轴的交点（即反射点）为Q，点P关于y轴的对称点为P′（-1，-1），
由光学知识可知直线P′Q为反射线所在的直线，且为圆C的切线，…（2分）
设P′Q的方程为y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0，…（4分）
∵直线P′Q与圆C相切，
∴圆心C（4，4）到直线P′Q的距离等于半径长，即

|4k-4+k-1|

k2+1

=1，
解得：k=

4

3

或k=

3

4

，…（8分）
由光线l与直线P′Q关于y轴对称可得：光线l的斜率为-

4

3

或-

3

4

，…（10分）
∴光线l所在的直线方程为y+1=-

4

3

（x-1）或y+1=-

3

4

（x-1），即4x+3y-1=0或3x+4y+1=0．…（12分）

点评：此题考查了圆的切线方程，涉及的知识有：圆的标准方程，关于y轴对称的直线方程，点到直线的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．