Question

20．已知f（x）是定义在R上的偶函数．当x≥0时，f（x）=$\frac{2x-3}{x+1}$，则不等式f（lnx）＜l的解集为（$\frac{1}{{e}^{4}}$，e⁴）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴不等式f（lnx）＜l等价为f（|lnx|）＜l，
当x≥0时，f（x）=$\frac{2x-3}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-5}{x+1}$=2-$\frac{5}{x+1}$，则函数f（x）为增函数，
由f（x）=$\frac{2x-3}{x+1}$=1，得x=4，即f（4）=1，
则不等式f（|lnx|）＜l等价为f（|lnx|）＜f（4），
则|lnx|＜4，
即-4＜lnx＜4，
即$\frac{1}{{e}^{4}}$＜x＜e⁴，
即不等式的解集为（$\frac{1}{{e}^{4}}$，e⁴），
故答案为：（$\frac{1}{{e}^{4}}$，e⁴）

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的单调性，利用函数单调性和奇偶性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．