Question

10．已知f（x）对任意x∈[0，+∞）都有f（x+1）=-f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）=x，若函数g（x）=f（x）-log_a（x+1）（0＜a＜1）在区间[0，4]上有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）
• C． [$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 根据f（x）的周期和[0，1）的解析式画出f（x）在[0，4]的图象，根据图象交点个数列出不等式组解出a的范围．

解答 解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），∴f（x）的周期为2．
当x∈[1，2）时，x-1∈[0，1），∴f（x）=-f（x+1）=-f（x-1）=-（x-1）=1-x．
作出f（x）和y=log_a（x+1）的函数图象如图：
∵函数g（x）=f（x）-log_a（x+1）（0＜a＜1）在区间[0，4]上有两个零点，
∴log_a（2+1）＞-1，log_a（4+1）≤-1．
解得$\frac{1}{5}$≤a$＜\frac{1}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了抽象函数的应用，函数零点个数的判断，作出f（x）的图象是关键．