Question

2．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ²=2ρsinθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，求出M点的坐标，从而得到|MC|，再由|MN|≤|MC|+r，能求出MN的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ²=2ρsinθ，…（2分）
又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2y=0．…（4分）
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y=-$\frac{4}{3}（x-2）$．…（6分）
令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．
又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1，
∵直线l与x轴的交点是M，∴M（2，0），
∴|MC|=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，…（8分）
∵N是曲线C上一动点，∴|MN|≤|MC|+r=$\sqrt{5}+1$．
故MN的最大值为$\sqrt{5}+1$．…（10分）

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．