Question

12．对于问题：“已知关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），解关于x的不等式ax²-bx+c＞0”，给出如下一种解法：
解：由ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），得a（-x）²+b（-x）+c＞0的解集为（-2，1），
即关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（-2，1）．
参考上述解法，若关于x的不等式$\frac{k}{x+a}$+$\frac{x+b}{x+c}$＜0的解集为（-3，-1）∪（1，2），则关于x的不等式$\frac{kx}{ax+1}$+$\frac{bx+1}{cx+1}$＜0的解集为（-1，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 观察发现ax²+bx+c＞0将x换成-x得a（-x）²+b（-x）+c＞0，则解集也相应变化，-x∈（-1，2），则x∈（-2，1），不等式$\frac{kx}{ax+1}$+$\frac{bx+1}{cx+1}$＜0可看成前者不等式中的x用$\frac{1}{x}$代入可得，分析可得答案．

解答 解：由ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），得a（-x）²+b（-x）+c＞0的解集为（-2，1），
发现-x∈（-1，2），则x∈（-2，1）
若关于x的不等式$\frac{k}{x+a}$+$\frac{x+b}{x+c}$＜0的解集为（-3，-1）∪（1，2），
则关于x的不等式$\frac{kx}{ax+1}$+$\frac{bx+1}{cx+1}$＜0可看成前者不等式中的x用$\frac{1}{x}$代入可得，
则$\frac{1}{x}$∈（-3，-1）∪（1，2），
∴x∈（-1，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{2}$，1），
故答案为：（-1，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了类比推理，通过已知条件发现规律，属于基础题．