Question

3．△ABC中，∠A=120°，∠A的平分线AD交边BC于D，且AB=2，CD=2DB，则AD的长为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根据CD=2DB，得到B，C，D三点共线，继而得到$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，根据平分线的性质求出AC=4，利用向量的模的计算和向量的数量积即可求出答案．

解答 解：由题意B，C，D三点共线，且$\frac{CD}{BD}$=$\frac{2}{1}$，则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
根据角平分线的性质$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=4，
∴|$\overrightarrow{AD}$|²=（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$）²=$\frac{1}{9}$|$\overrightarrow{AC}$|²+$\frac{4}{9}$|AB|²+$\frac{4}{9}$|$\overrightarrow{AC}$||$\overrightarrow{AB}$|cosA=$\frac{16}{9}$+$\frac{16}{9}$-$\frac{16}{9}$=$\frac{16}{9}$，
∴AD=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了向量在几何中的应用，关键是掌握向量的数量积公式，属于中档题．