Question

7．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}t}{2}}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$曲线C₂的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求曲线C₂上的动点M到直线C₁的距离的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ，能求出C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C₁消去参数，得C₁的直角坐标方程为$x+\sqrt{3}y+2=0$，求出圆心到直线C₁的距离，由此能求出动点M到曲线C₁的距离的最大值．

解答 解：（Ⅰ）$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）=2（{cos{\;}θ+sin{\;}θ}）$，…（2分）
即ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），
∴x²+y²-2x-2y=0，
故C₂的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2．…（5分）
（Ⅱ）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}t}{2}}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，
∴C₁的直角坐标方程为$x+\sqrt{3}y+2=0$，
由（Ⅰ）知曲线C₂是以（1，1）为圆心的圆，
且圆心到直线C₁的距离$d=\frac{{\left|{1+\sqrt{3}+2}\right|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}}}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$，…（8分）
∴动点M到曲线C₁的距离的最大值为$\frac{{3+\sqrt{3}+2\sqrt{2}}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到曲线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．