Question

16．设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁=2，对任意n∈N^*，都有2S_n=（n+1）a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{$\frac{4}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$}的前n项和为T_n，求证：$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

Answer 1

分析 （I）2S_n=（n+1）a_n，当n≥2时，2S_n-1=na_n-1，可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$，可得a_n．
（II）$\frac{4}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{4}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．

解答 （I）解：∵2S_n=（n+1）a_n，
∴当n≥2时，2S_n-1=na_n-1，可得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$，
∴a_n=2n．
（II）证明：$\frac{4}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{4}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{2}$=T₁≤T_n＜1，
∴$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．