Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤1}\\{（x-1）^{2}+a，x＞1}\end{array}\right.$，若关于x的函数g（x）=xf（x）-$\frac{1}{2}$只有一个零点，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 分类讨论可知g（x）在[0，1]上有且只有一个零点，故g（x）在（1，+∞）上没有零点，从而再分析解得．

解答 解：当x≤1时，
g（x）=x•2^x-$\frac{1}{2}$，
当x＜0时，g（x）＜0，
当x=0时，g（x）=-$\frac{1}{2}$＜0，
当x=1时，g（x）=2-$\frac{1}{2}$＞0，
且g（x）在[0，1]上连续递增，
故g（x）在[0，1]上有且只有一个零点，
故g（x）在（1，+∞）上没有零点，
结合f（x）=（x-1）²+a，
故g（x）=x（（x-1）²+a）-$\frac{1}{2}$，
故g（1）=a-$\frac{1}{2}$≥0，
故a≥$\frac{1}{2}$，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的四则运算的应用及函数的零点的个数的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想应用．