Question

1．已知二项式（2x+1）ⁿ的各项系数和为a_n，展开式x的系数为b_n，设C_n=a_nb_n，则数列{C_n}的前n项的和为T_n，则为T₂₀₁₄（　　）

• A． 1+$\frac{4027}{2}$•3²⁰¹⁵
• B． $\frac{3}{2}$+$\frac{4027}{2}$•3²⁰¹⁵
• C． 1+$\frac{4027}{2}$•3²⁰¹⁴
• D． $\frac{3}{2}$+$\frac{4027}{2}$•3²⁰¹⁴

Answer 1

分析 由条件求得a_n和b_n 的值，可得C_n=a_nb_n的解析式，再利用错位相加法求得数列{C_n}的前n项的和为T_n的值．

解答 解：令x=1，可得二项式（2x+1）ⁿ的各项系数和为可得a_n=3ⁿ，
展开式x的系数为b_n =${C}_{n}^{n-1}$•2=2n，C_n=a_nb_n=2n•3ⁿ，
由T₂₀₁₄ =2•3¹+4•3²+6•3³+…+4028•3²⁰¹⁴ ①，
可得3•T₂₀₁₄=2•3²+4•3³+6•3⁴+…+4026•3²⁰¹⁴+4028•3²⁰¹⁵ ②，
①-②可得-2T₂₀₁₄=2•3¹+2•3²+2•3³+…+2•3²⁰¹⁴-4028•3²⁰¹⁵，
∴T₂₀₁₄=$\frac{3}{2}$+$\frac{4027}{2}$•3²⁰¹⁵，
故选：B．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，用错位相加法求数列的前n项和，属于中档题．