Question

16．已知函数f（x）=x²-a|x-1|，其中a∈R．
（1）若函数g（x）=f（x）-$\frac{3}{4}$有四个零点，求实数a的取值范围：
（2）设函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）=$\frac{3}{4}$有4个实数解，对x讨论，x≥1时，x＜1时，方程都有两个实根，运用二次函数的图象，可得不等式组，解得即可；
（2）结合二次函数的图象和性质，对a进行分类讨论，可得f（x）在区间[-2，2]上的最大值g（a）的表达式．

解答 解：（1）函数g（x）=f（x）-$\frac{3}{4}$有四个零点，即为
f（x）=$\frac{3}{4}$有4个实数解，
即有x≥1时，x²-ax+a-$\frac{3}{4}$=0有2个解，
即有$\left\{\begin{array}{l}{1-a+a-\frac{3}{4}≥0}\\{\frac{a}{2}＞1}\\{{a}^{2}-4（a-\frac{3}{4}）＞0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞3或a＜1}\end{array}\right.$解得a＞3；
由x＜1时，x²+ax-a-$\frac{3}{4}$=0有2个解，
即有$\left\{\begin{array}{l}{1+a-a-\frac{3}{4}＞0}\\{-\frac{a}{2}＜1}\\{{a}^{2}+4a+3＞0}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{a＞-2}\\{a＞-1或a＜-3}\end{array}\right.$解得a＞-1．
综上可得，a的范围是a＞3．
（2）f（x）=x²-a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a，x＜1}\\{{x}^{2}-ax+a，x≥1}\end{array}\right.$，
若-2≤a≤0，此时函数f（x）在区间[-2，-$\frac{a}{2}$]上为减函数，
在区间[-$\frac{a}{2}$，1）上递增，在（1，2）递增，
由f（-2）=4-3a，f（2）=4-a，故g（a）=f（-2）=4-3a；
若a＜-2，则f（x）在（-2，1）递减，在（1，2）递增，即有f（-2）取得最大值，且为4-3a；
若0＜a≤2时，f（x）在（-2，-$\frac{a}{2}$）递减，在（-$\frac{a}{2}$，1）递增，（1，2）递增，f（-2）＜f（2），
即有f（2）=4-a取得最大值；
若2＜a≤3时，f（x）在（-2，-$\frac{a}{2}$）递减，在（-$\frac{a}{2}$，1）递增，（1，2）递增，f（-2）＜f（2），
即有f（2）=4-a取得最大值；
若3＜a≤4时，f（x）在（-2，-$\frac{a}{2}$）递减，在（-$\frac{a}{2}$，1）递增，（1，2）递增，f（1）＞f（2），
即有f（1）=1取得最大值；
若a＞4时，f（x）在（-2，1）递增，在（1，2）递减，即有f（x）的最大值为f（1）=1．
综上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4-3a，a≤0}\\{4-a，0＜a≤3}\\{1，a＞3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．