Question

6．已知x∈R，设$\vec m=（2cosx\;，\;sinx+cosx）$，$\vec n=（\sqrt{3}sinx\;，\;sinx-cosx）$，记函数$f（x）=\vec m•\vec n$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，$c=\sqrt{3}$，a+b=3，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、倍角公式与和差公式可得f（x），再利用三角函数的图象与性质即可得出；
（2）利用三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$f（x）=\vec m•\vec n=2\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-{cos^2}x=\sqrt{3}sin2x-cos2x$=$2sin（{2x-\frac{π}{6}}）$．  …（3分）
∴f（x）的最小正周期是T=π．…（4分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，…（6分）
得函数f（x）的单调递增区间是$[{kπ-\frac{π}{6}\;，\;kπ+\frac{π}{3}}]$（k∈Z）． …（7分）
（2）由f（C）=2，得$sin（{2C-\frac{π}{6}}）=1$，…（1分）
∵0＜C＜π，所以$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$C=\frac{π}{3}$．          …（3分）
在△ABC中，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，…（4分）
得3=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，即ab=2，…（5分）
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$． …（7分）

点评 本题了考查了数量积运算性质、倍角公式与和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．