Question

15．已知函数f（x）=ax²-2x+3a-1（a∈R）．
（1）当a＞0时，设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（2）设h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若h（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴与[1，2]的关系判断f（x）的单调性，根据单调性求出最小值．
（2）写出h（x），求出h′（x），求出h′（x）在[1，2]的最小值，令h_min（x）≥0求出a的范围．

解答 解：（1）当a＞0时，f（x）的图象开口向上，对称轴为x=$\frac{1}{a}$．
①若$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1时，f（x）在[1，2]上是增函数，∴g（a）=f_min（x）=f（1）=4a-3．
②若$\frac{1}{a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在[1，2]上是减函数，∴g（a）=f_min（x）=f（2）=7a-5．
③若1＜$\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜1时，f（x）在[1，2]上先减后增，∴g（a）=f_min（x）=f（$\frac{1}{a}$）=3a-$\frac{1}{a}$-1．
综上，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{7a-5，0＜a≤\frac{1}{2}}\\{3a-\frac{1}{a}-1，\frac{1}{2}＜a＜1}\\{4a-3，a≥1}\end{array}\right.$．
（2）h（x）=ax+$\frac{3a-1}{x}$-2．h′（x）=a-$\frac{3a-1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-3a+1}{{x}^{2}}$．
∵h（x）在区间[1，2]上为增函数，∴$\frac{a{x}^{2}-3a+1}{{x}^{2}}$≥0在[1，2]上恒成立，即ax²-3a+1≥0恒成立．令F（x）=ax²-3a+1，
当a=0时，F（x）=1＞0，复合题意．
当a＞0时，F（x）在[1，2]上是增函数，∴F_min（x）=F（1）=1-2a≥0，解得0$＜a≤\frac{1}{2}$．
当a＜0时，F（x）在[1，2]上是减函数，∴F_min（x）=F（2）=a+1≥0，解得-1≤a＜0．
综上，a的取值范围是[-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了二次函数的单调性和最值，函数恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题．