Question

18．已知等差数列{a_n}通项公式为a_n=2n，公比为q的等比数列{b_n}满足b_n≥a_n（n∈N₊）恒成立，且b₄=a₄，则公比q的取值范围为[$\frac{5}{4}$，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 先求出${b}_{1}=\frac{8}{{q}^{3}}$，再由$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{5}≥{a}_{5}}\\{{b}_{3}≥{a}_{3}}\end{array}\right.$，能求出公比q的取值范围．

解答 解：∵等差数列{a_n}通项公式为a_n=2n，公比为q的等比数列{b_n}满足b_n≥a_n（n∈N₊）恒成立，且b₄=a₄，
∴${b}_{1}{q}^{3}=8$，解得${b}_{1}=\frac{8}{{q}^{3}}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{5}≥{a}_{5}}\\{{b}_{3}≥{a}_{3}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{8}{{q}^{3}}×{q}^{4}≥10}\\{\frac{8}{{q}^{3}}×{q}^{2}≥6}\end{array}\right.$，解得$\frac{5}{4}≤q≤\frac{4}{3}$．
∴公比q的取值范围为[$\frac{5}{4}$，$\frac{4}{3}$]．
故答案为：[$\frac{5}{4}$，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查等比数列的公比的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．