Question

10．设全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={x|ax-1＞0，a∈R}．
（1）当a=2时，求A∩B；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出A，B，即可求出A∩B；
（2）分类讨论，利用B⊆A，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，解不等式2x-1＞0得$x＞\frac{1}{2}$
∴$B=（\frac{1}{2}，+∞）$…（2分）
∴$A∩B=（2，+∞）∩（\frac{1}{2}，+∞）=（2，+∞）$…（4分）
（2）①当a＜0时，解不等式ax-1＞0得$x＜\frac{1}{a}$
∴$B=（-∞，\frac{1}{a}）$，此时B⊆A不成立                     …（6分）
②当a=0时，不等式ax-1＞0没有实数解
∴B=∅，此时B⊆A成立                             …（8分）
③当$0＜a≤\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{a}≥2$，解不等式ax-1＞0得$x＞\frac{1}{a}$
∴$B=（\frac{1}{a}，+∞）$，此时B⊆A成立                       …（10分）
④当$a＞\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{a}＜2$，解不等式ax-1＞0得$x＞\frac{1}{a}$
∴$B=（\frac{1}{a}，+∞）$，此时B⊆A不成立                     …（12分）
综上所述，实数a的取值范围是$0≤a≤\frac{1}{2}$…（14分）

点评 本题考查集合的关系与运算，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．