Question

19．已知在三棱锥P-ABC中，PA=4，AC=2$\sqrt{7}$，PB=BC=2$\sqrt{3}$，PA⊥平面PBC，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为$\frac{9π}{4}$．

Answer 1

分析 确定△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形，求出四面体P-ABC的内切球半径，即可得出结论．

解答 解：解：由题意，已知PA⊥面PBC，PA=4，PB=BC=2$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{7}$，
所以，由勾股定理得到：AB=2$\sqrt{7}$，PC=2$\sqrt{3}$，
所以，△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形
等边三角形PBC所在的小圆的直径PD=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4
那么，四面体P-ABC的外接球直径2R=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，
所以，R=2$\sqrt{2}$，
${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△PBC}•PA=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×12×4$=4$\sqrt{3}$，
表面积S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×4×2+\frac{\sqrt{3}}{4}×12+\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×5$=$16\sqrt{3}$，
设内切球半径为r，则4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×16\sqrt{3}r$，
解得r=$\frac{3}{4}$，
∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积S_内切球=4$π×（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{9π}{4}$．
故答案为：$\frac{9π}{4}$．

点评 本题考查四面体内切球的表面积的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．