Question

9．定义运算：m⊕n=$\left\{\begin{array}{l}{m（m≥n）}\\{n（m＜n）}\end{array}\right.$，设函数f（x）=e^x⊕1，给出如下4个命题：
①存在实数a，使f（a）•f（-a）=1；②任意a，b∈R，都有f（a²）+f（b²）≥2f（ab）；
③存在实数a，b，使f（a）+f（b）=f（ab）；④任意a，b∈R，都有f（a）•f（b）≥f（a+b）．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由题意知f（x）=e^x⊕1=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$，从而依次对四个命题判断：
①举例a=0时即可，
②以ab的取值分类讨论，从而证明；
③举例a=b=-$\sqrt{ln2}$时即可，
④以a+b的取值分类讨论，从而证明．

解答 解：由题意知，
f（x）=e^x⊕1=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$，
①当a=0时，f（a）•f（-a）=1，故成立；
②当ab=0时，f（ab）=1，f（a²）≥1，f（b²）≥1，
故f（a²）+f（b²）≥2f（ab）；
当ab＜0时，f（ab）=1，f（a²）＞1，f（b²）＞1，
故f（a²）+f（b²）≥2f（ab）；
当ab＞0时，f（ab）=e^ab，f（a²）=${e}^{{a}^{2}}$，f（b²）=${e}^{{b}^{2}}$，
故f（a²）+f（b²）=${e}^{{a}^{2}}$+${e}^{{b}^{2}}$
≥2$\sqrt{{e}^{{a}^{2}}{e}^{{b}^{2}}}$=2$\sqrt{{e}^{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
=2$\sqrt{{e}^{2ab}}$=2f（ab）；
故对任意a，b∈R，都有f（a²）+f（b²）≥2f（ab），故成立；
③当a=b=-$\sqrt{ln2}$时，
f（a）+f（b）=2=f（ab）=2，故成立；
④当a+b≤0时，f（a+b）=1，
故f（a）•f（b）≥f（a+b）；
当a+b＞0时，
若ab≥0，f（a）•f（b）=e^a•e^b=e^a+b=f（a+b），
若ab＜0，则不妨设a＜0，
则f（a）•f（b）=e^b＞e^a+b=f（a+b）；
故对任意a，b∈R，都有f（a）•f（b）≥f（a+b），故成立．
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的应用及基本不等式的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．