Question

19．平面直角坐标系xOy中，直线y=5与抛物线C：x²=2py（p＞0）交于点A，B，若△OAB的垂心为C的焦点，则p的值为2．

Answer 1

分析 将y=5代入抛物线的方程，可得A，B的坐标，求得抛物线的焦点坐标，再由垂心的性质可得AF⊥OB，即有k_AF•k_OB=-1，再由斜率公式，解方程即可得到p的值．

解答 解：由y=5代入抛物线C：x²=2py可得，
A（-$\sqrt{10P}$，5），B（$\sqrt{10P}$，5），
由抛物线x²=2py可得焦点为F（0，$\frac{p}{2}$），
由△OAB的垂心为C的焦点，可得
AF⊥OB，即有k_AF•k_OB=-1，
即为$\frac{5-\frac{p}{2}}{-\sqrt{10p}}$•$\frac{5}{\sqrt{10p}}$=-1，
解方程可得p=2．
故答案为：2．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查三角形的垂心的性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．