Question

10．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm³，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3cm．

Answer 1

分析 设底面半径为r，高为h，则由题意得S=2πrh+πr²=$π（\frac{54}{r}+{r}^{2}）$，由此利用导数能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值．

解答 解：设底面半径为r，高为h，
则由题意得h=$\frac{27}{{r}^{2}}$，
∴S=2πrh+πr²=$π（\frac{54}{r}+{r}^{2}）$，
∴S′=$2πr-\frac{54π}{{r}^{2}}$，
当0＜r＜3时，S′＜0，当r＞3时，S′＞0，
故r=3时，取得极小值，也是最小值，
∴制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查的知识点是旋转体，导数法求函数的最值，是立体几何与导数的综合应用，难度中档．