Question

1．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求直线AC与直线PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由底面为直角梯形可得CD⊥AD，由PA⊥底面ABCD可得PA⊥CD，故而CD⊥平面PAD，推出平面PAD⊥平面PCD；
（2）建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PB}$的坐标，代入向量的夹角公式计算异面直线所成的角．

解答 证明：（1）∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵PA?平面PAD，AD?平面PAD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∵CD?平面ACD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-1），∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}$=2，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线AC与直线PB所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，异面直线所成角的计算，常用向量法来解决空间角的计算问题．