Question

11．若关于x的不等式xlnx+x-kx+3k＞0对任意x＞1恒成立，则整数k的最大值是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 把函数f（x）的解析式代入f（x）+x-k（x-3）＞0，整理后对x讨论，x=3，x＞3，1＜x＜3时，运用参数分离，求得最值，主要是x＞3时，求其导函数，得到其导函数的零点x₀位于（13，14）内，且知此零点为函数h（x）的最小值点，经求解知h（x₀）=$\frac{1}{3}$x₀，从而得到k＜$\frac{1}{3}$x₀，则正整数k的最大值可求．

解答 解：关于x的不等式xlnx+x-kx+3k＞0对任意x＞1恒成立，
即k（x-3）＜x+xlnx，
当x=3时，不等式显然成立；
当x＞3，即有k＜$\frac{xlnx+x}{x-3}$对任意x＞3恒成立．
令h（x）=$\frac{xlnx+x}{x-3}$，
则h′（x）=$\frac{x-6-3lnx}{（x-3）^{2}}$，
令φ（x）=x-3lnx-6（x＞3），
则φ′（x）=1-$\frac{3}{x}$＞0，
所以函数φ（x）在（3，+∞）上单调递增，
因为φ（13）=7-3ln13＜0，φ（14）=8-3ln14＞0，
所以方程φ（x）=0在（3，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（13，14）．
当13＜x＜x₀时，φ（x）＜0，
即h′（x）＜0，当x＞x₀时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，
所以函数h（x）=$\frac{xlnx+x}{x-3}$在（13，x₀）上单调递减，
在（x₀，+∞）上单调递增．
所以[h（x）]_min=h（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1+ln{x}_{0}）}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{x}_{0}（1+\frac{{x}_{0}-6}{3}）}{{x}_{0}-3}$
=$\frac{1}{3}$x₀∈（$\frac{13}{3}$，$\frac{14}{3}$）．
所以k＜[h（x）]_min=$\frac{1}{3}$x₀，
因为x₀∈（13，14）．
故整数k的最大值是4；
当1＜x＜3时，即有k＞$\frac{xlnx+x}{x-3}$对任意x＞3恒成立．
由于x-3＜0，可得$\frac{xlnx+x}{x-3}$＜0，即有k≥0，
综上可得，k的最大值为4．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调区间，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，在求解函数h（x）的最小值，运用零点存在定理，属于中档题．