Question

18．如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，距离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．
（1）设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；
（2）为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．

Answer 1

分析 （1）连结OA，OB，利用余弦定理求出AB，根据圆的性质求出AB的最值，列出不等式求出α的范围；使用作差法求出弓形的面积；
（2）过O分别作AB，CD的垂线段OE，OF，设AB=x，根据勾股定理和垂径定理求出CD，AB+CD是关于x的函数，利用导数求出该函数的最小值．

解答 解：（1）连结OA，OB，则∠AOB=α，OA=OB=10，在△AOB中，由余弦定理得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}-2OA•OBcosα}$=$\sqrt{200-200cosα}$．
∵OP=5，∴当OP⊥AB时，AB取得最小值2$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=10$\sqrt{3}$，当AB过圆心O时，AB取得最大值20，
∴10$\sqrt{3}$≤$\sqrt{200-200cosα}$≤20，解得-1≤cosα≤-$\frac{1}{2}$．∴$\frac{2π}{3}$≤α≤π．∴α的最小值为$\frac{2π}{3}$．
较小区域面积S（α）=S_扇形OAB-S_△AOB=$\frac{α}{2π}•πO{A}^{2}$-$\frac{1}{2}O{A}^{2}•sinα$=50α-50sinα．∴S′（α）=50-50cosα＞0，
∴S（α）在[$\frac{2π}{3}$，π]上是增函数，∴S_min（α）=S（$\frac{2π}{3}$）=$\frac{100π}{3}$-25$\sqrt{3}$（km²）．
（2）过O分别作AB，CD的垂线段OE，OF，则四边形OEPF是矩形，AE=$\frac{AB}{2}$，DF=$\frac{CD}{2}$，设AB=x，则OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{100-\frac{{x}^{2}}{4}}$，
∴OF=PE=$\sqrt{O{P}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-75}$，∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{175-\frac{{x}^{2}}{4}}$，∴CD=2DF=2$\sqrt{175-\frac{{x}^{2}}{4}}$=$\sqrt{700-{x}^{2}}$．
∴AB+CD=x+$\sqrt{700-{x}^{2}}$．∴（AB+CD）²=700+2x$\sqrt{700-{x}^{2}}$=700+2$\sqrt{700{x}^{2}-{x}^{4}}$．
令f（x）=700x²-x⁴，则f′（x）=1400x-4x³，令f′（x）=0得x=0（舍）或x=$\sqrt{350}$或x=-$\sqrt{350}$（舍）．
当10$\sqrt{3}$≤x＜$\sqrt{350}$时，f′（x）＞0，当$\sqrt{350}$＜x≤20时，f′（x）＜0．
∴f（x）在[10$\sqrt{3}$，$\sqrt{350}$]上是增函数，在[$\sqrt{350}$，20]上是减函数．
∵f（10$\sqrt{3}$）=120000，f（20）=120000，∴f（x）的最小值为120000．
∴（AB+CD）²的最小值是700+2$\sqrt{120000}$=700+400$\sqrt{3}$=（10$\sqrt{3}$+20）²，∴AB+CD的最小值是10$\sqrt{3}$+20（km）．

点评 本题考查了余弦定理，导数与函数的最值问题，在圆中常使用垂径定理来解决计算问题．