Question

11．设x₁，x₂是方程x²-mx+（m-2）²=0的两个实数根．求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer 1

分析 由△≥0求出m的范围，利用根与系数的关系得出|x₁-x₂|²的关系，进而得出|x₁-x₂|的范围．

解答 解∵方程x²-mx+（m-2）²=0有两个实数根，∴△=m²-4（m-2）²≥0，解得$\frac{4}{3}$≤m≤4．
∵x₁+x₂=m，x₁x₂=（m-2）²，∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=m²-4（m-2）²=-3m²+16m-16=-3（m-$\frac{8}{3}$）²+$\frac{16}{3}$．
∵$\frac{4}{3}$≤m≤4，∴当m=$\frac{8}{3}$时，|x₁-x₂|²取得最大值$\frac{16}{3}$，当m=4时，|x₁-x₂|²取得最小值0．
∴0≤|x₁-x₂|²≤$\frac{16}{3}$．∴0≤|x₁-x₂|≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴|x₁-x₂|的取值范围时[0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查了二次函数的根的个数与系数的关系，根与系数的关系，一元二次函数的最值，属于中档题．