Question

3．已知函数f（x）=sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=$\frac{3}{4}$，a=2，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式与和差公式即可得出周期．
（2）利用三角形面积计算公式与余弦定理即可得出．

解答 解：（1）f（x）=sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）=sinx$（\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx）$=$\frac{1}{2}si{n}^{2}x$+$\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x$=$\frac{1}{2}（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x）$+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{4}$．
故最小正周期为π．
（2）f（C）=$\frac{1}{2}sin（2C-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
化为$sin（2C-\frac{π}{6}）$=1，
∵C∈（0，π），
∴$2C-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得C=$\frac{π}{3}$．
由三角形面积公式S=$\frac{1}{2}ab$sinC=2$\sqrt{3}$，且a=2，
∴$\frac{1}{2}×2b$sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，
可得b=4．
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=2²+4²-2×2×4cos$\frac{π}{3}$，
可得c=2$\sqrt{3}$．

点评 本题了考查了倍角公式与和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．