Question

12．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₅=30，S₁₀=110，数列{b_n}的前n项和T_n满足：b₁=1，b_n+1-2T_n=1．
（1）求S_n与b_n；
（2）比较S_nb_n与2T_na_n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等差数列前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出S_n与b_n；由${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}，n=1}\\{{T}_{n}-{T}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）推导出S_nb_n=（n²+n）•3^n-1，2T_na_n=2n•（3ⁿ-1），由此利用作差法能比较S_nb_n与2T_na_n的大小．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵S₅=30，S₁₀=110，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=110}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．…（3分）
对数列{b_n}，由已知有b₂-2T₁=1，即b₂=2b₁+1=3，
∴b₂=3b₁，（*）
又由已知b_n+1-2T_n=1，可得b_n-2T_n-1=1（n≥2，n∈N*），
两式相减得b_n+1-b_n-2（T_n-T_n-1）=0，即b_n+1-b_n-2b_n=0（n≥2，n∈N*），
整理得b_n+1=3b_n （n≥2，n∈N*），
结合（*）得$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=3$（常数），n∈N*，
∴数列{b_n}是以b₁=1为首项₁，3为公比的等比数列，
∴b_n=3^n-1．…（7分）
（2）2T_n=b_n+1-1=3ⁿ-1，
∴S_nb_n=（n²+n）•3^n-1，2T_na_n=2n•（3ⁿ-1），
于是S_nb_n-2T_na_n=（n²+n）•3^n-1-2n•（3ⁿ-1）=n[3^n-1（n-5）+2]，…（9分）
当n≤4（n∈N^*）时，S_nb_n-2T_na_n＜0，即S_nb_n＜2T_na_n；
当n≥5（n∈N^*）时，S_nb_n-2T_na_n＞0，即S_nb_n＞2T_na_n．
∴当n≤4（n∈N^*）时，S_nb_n＜2T_na_n；当n≥5（n∈N^*）时，S_nb_n＞2T_na_n．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查两个数的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意作差法的合理运用．