Question

2．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图象知，A，周期T，利用周期公式可求ω，由点（$\frac{π}{3}$，2）在函数图象上，结合范围-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，从而解得函数解析式．
（2）由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，可求x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函数的图象和性质即可求得f（x）的取值范围．

解答 解：（1）由图象知，A=2，…（2分）
又$\frac{T}{4}$=$\frac{5π}{6}-$$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，ω＞0，
所以T=2π=$\frac{2π}{ω}$，得ω=1．…（4分）
所以f（x）=2sin（x+φ），
将点（$\frac{π}{3}$，2）代入，得$\frac{π}{3}$+φ=2k$π+\frac{π}{2}$（k∈Z），
即φ=$\frac{π}{6}$+2kπ（k∈Z），又-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
所以，φ=$\frac{π}{6}$．…（6分）
所以f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．…（8分）
（2）当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，…（10分）
所以sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
即f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]．…（14分）

点评 本题是中档题，主要考查了函数的图象求出函数的解析式的方法，考查了正弦函数的图象和性质，注意视图用图能力的培养．