Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x＞0}\\{{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$，若f（x）≥ax-1恒成立，则实数的取值范围是-2≤a≤0．

Answer 1

分析 绘出函数图象，利用数形结合的思想判断a的范围，找出临界点即相切时a的取值，进而得出a的范围．

解答 解：绘制函数图象如图：

由图象可知：
要使f（x）≥ax-1恒成立，
只需函数g（x）=ax-1的图象恒在图象f（x）的下方，
∴a≤0，
设g（x）=ax-1与函数f（x）=x²-4x相切与点P（m，n），
∴m²-4m=（2m-4）m-1，
∴m=1，a=-2，
∴-2≤a≤0．
故答案为：-2≤a≤0．

点评 考查了分段函数和利用导数的定义求切线的斜率．