Question

13．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤2\\ y≤2\\ 2x-y≤2\end{array}\right.$，则Z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AM}$的最大值为（　　）

• A． -5
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y-5，所以y=-2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤2\\ y≤2\\ 2x-y≤2\end{array}\right.$表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，
A（2，1），O（0，0），点M（x，y）
$z=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AM}$=（2，1）•（x-2，y-1）=2x+y-5；
∴y=-2x+5+z；
∴5+z表示直线y=-2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；
如图所示，当该直线经过点A₁（2，2）时，截距最大，此时z最大；
所以点A₁（2，2）代入直线y=-2x+5+z即得z=1．
故选：D．

点评 考查不等式组表示一个平面区域，并能找到这个平面区域，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，直线在y轴上的截距，线性规划的方法求最值．