Question

8．已知函数f（x）=|x-2|．
（1）解不等f（x）+f（x+1）≥5；
（2）若|a|＞1且f（ab）＞|a|•f（${\frac{b}{a}}$），证明：|b|＞2．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（$\frac{b}{a}$），代入不等式，问题转化为|ab-2|＞|b-2a|，平方证明即可．

解答 （1）解：原不等式等价于|x-2|+|x-1|≥5，
当x＞2时，不等式可化为：（x-2）+（x-1）≥5，
解得：x≥4，
当1≤x≤2时，不等式可化为（2-x）+（x-1）≥5，1≥5，无解，
x＜1时，不等式可化为：（2-x）+（1-x）≥5，解得：x≤-1，
综上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤-1}；
（2）证明：$f（{ab}）＞|a|•f（{\frac{b}{a}}）$
?|ab-2|＞|a||$\frac{b}{a}$-2|
?|ab-2|＞|b-2a|
?（ab-2）²＞（b-2a）²
?a²b²+4-b²-4a²＞0
?（a²-1）（b²-4）＞0，
∵|a|＞1，
∴a²-1＞0，
∴b²-4＞0，
∴|b|＞2，证毕．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．