Question

19．已知函数f（x）=x²（e^x+e^-x）-（2x+1）²（e^2x+1+e^-2x-1），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为（　　）

• A． （-1，-$\frac{1}{3}$）
• B． （-∞，-1）
• C． （-$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=x²（e^x+e^-x），由f（x）＞0，得g（x）＞g（2x+1），然后利用导数求得函数g（x）的单调性，结合函数为偶函数可得|x|＞|2x+1|，最后求解绝对值的不等式得答案．

解答 解：设g（x）=x²（e^x+e^-x），则由f（x）＞0，得g（x）＞g（2x+1），
∵g（-x）=g（x），∴g（x）为偶函数，
当x≥0时，g′（x）=2x（e^x+e^-x）+x²（e^x-e^-x）≥0，
∴函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，
则由g（x）＞g（2x+1），得|x|＞|2x+1|，
解得：-1$＜x＜-\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查不等式的解法，训练了利用导数研究函数的单调性，考查绝对值不等式的解法，是中档题．