Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆在y轴上的一个顶点，若2b，|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，2a成等差数列，且△PF₁F₂的面积为12，则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

Answer 1

分析 由2b，|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，2a成等差数列得到一个关于a，b，c的方程，再由△PF₁F₂的面积为12得到另一方程，结合隐含条件求得a，b的值得答案．

解答 解：由题意知，2a+2b=2|F₁F₂|=4c，
${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•b=bc=12$，
∴a=2c-b，又a²=b²+c²，
∴（2c-b）²=b²+c²，解得：c=4．
∴b=3，a=5．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础题．