Question

1．已知复数z₁=2sinθ-$\sqrt{3}$i，z₂=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）若z₁•z₂为实数，求sec2θ的值；
（2）若复数z₁，z₂对应的向量分别是$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，存在θ使等式（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）=0成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用复数的乘法化简复数，通过复数是实数求出θ，然后求解即可．
（2）化简复数z₁，z₂对应的向量分别是$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，然后利用向量的数量积求解即可．

解答 解：复数z₁=2sinθ-$\sqrt{3}$i，z₂=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）z₁•z₂=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ+（4sinθcosθ-$\sqrt{3}$）i，
z₁•z₂为实数，可得4sinθcosθ-$\sqrt{3}$=0，sin2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得θ=$\frac{π}{3}$．
sec2θ=$\frac{1}{cos2θ}$=-2．
（2）复数z₁=2sinθ-$\sqrt{3}$i，z₂=1+（2cosθ）i，
复数z₁，z₂对应的向量分别是$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{a}$=（2sinθ，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，2cosθ），（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）=0，
∵$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²=（2sinθ）²+（-$\sqrt{3}$）²+1+（2cosθ）²=8，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（2sinθ，-$\sqrt{3}$）•（1，2cosθ）=2sinθ-2$\sqrt{3}$cosθ，
∴（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）=λ（$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²）-（1+λ2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=8λ-（1+λ²）（2sinθ-2$\sqrt{3}$cosθ）=0，
化为sin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{2λ}{1+{λ}^{2}}$，
∵θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，∴（θ-$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴sin（θ-$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{1}{2}$]．
∴0≤$\frac{2λ}{1+{λ}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，解得λ≥$2+\sqrt{3}$或λ≤2-$\sqrt{3}$．
实数λ的取值范围是（-∞，2-$\sqrt{3}$]∪[2+$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 熟练掌握z₁•z₂∈R?虚部=0、复数的几何意义、向量的数量积、一元二次不等式的解法是解题的关键