Question

10．已知函数f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）-1，x∈R，求：
（1）函数f（x）的最小值及此时自变量x的取值集合；
（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到函数f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）-1的图象？
（3）若x在[0，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得当$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，函数f（x）取最小值-4，可得此时x的取值集合；
（2）由函数图象变换的规律可得；
（3）由x∈[0，$\frac{π}{3}$]和三角函数的最值以及和差角的三角函数可得．

解答 解：（1）由题意可得当$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$即x=4kπ-$\frac{3π}{2}$（k∈Z）时，
函数f（x）取最小值-3-1=-4，此时自变量x的取值集合为{x|x=4kπ-$\frac{3π}{2}$，k∈Z}；
（2）函数y=sinx的图象先纵坐标变为原来的3倍可得y=3sinx的图象，
再向左平移$\frac{π}{4}$个单位得到y=3sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象，
再横坐标变为原来的2倍可得y=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）的图象，
然后向下平移1个单位得到函数f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）-1的图象；
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin$\frac{5π}{12}$]，
∴3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）-1∈[$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1，3sin$\frac{5π}{12}$-1]，
由和差角三角函数公式可得sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
故f（x）的值域为[$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1，$\frac{3\sqrt{2}+3\sqrt{6}}{4}$-1]．

点评 本题考查三角函数的最值和图象变换，涉及和差角的三角函数公式，属中档题．