Question

2．已知不等式 e^x≥x+1，对任意的x∈R恒成立．现有以下命题：
①对?x∈R，不等式e^-x＞1-x恒成立；
②对?x∈（0，+∞），不等式ln（x+1）＜x恒成立；
③对?x∈（0，+∞），且x≠1，不等式lnx＜x-1恒成立；
④对?x∈（0，+∞），且x≠1，不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}$恒成立．
其中真命题的有①②③④（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析 ①由已知不等式e^x≥x+1，结合对称性可得e^-x＞1-x恒成立；
②把已知不等式两边取对数可得不等式ln（x+1）＜x恒成立；
③直接利用导数证明不等式lnx＜x-1恒成立；
④对x分类证明对?x∈（0，+∞），且x≠1，不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}$恒成立．

解答 解：①由e^x≥x+1对任意的x∈R恒成立，如图，
结合对称性可知，对?x∈R，不等式e^-x＞1-x恒成立，故①正确；
②由e^x≥x+1，且x∈（0，+∞），
两边取对数，得x＞ln（x+1），即ln（x+1）＜x，故②正确；
③令f（x）=lnx-x+1，则f′（x）=$\frac{1}{x}-1$=$\frac{1-x}{x}$，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）_max=f（1）=0，则lnx-x+1＜0，即lnx＜x-1，故③正确；
④当x∈（0，+∞），且x≠1时，不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}$等价于$\frac{2}{{x}^{2}-1}lnx-\frac{1}{x}＜0$，
即$\frac{1}{x}＞\frac{2}{{x}^{2}-1}lnx$，
若x∈（0，1），则$\frac{{x}^{2}-1}{2x}＜lnx$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}-lnx$，g′（x）=$\frac{4{x}^{2}-2{x}^{2}+2}{4{x}^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{（x-1）^{2}}{4{x}^{2}}＞0$，
∴g（x）在（0，1）上为增函数，则g（x）＜g（1）=0，即$\frac{{x}^{2}-1}{2x}＜lnx$；
若x∈（1，+∞），则$\frac{{x}^{2}-1}{2x}＞lnx$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}-lnx$，g′（x）=$\frac{4{x}^{2}-2{x}^{2}+2}{4{x}^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{（x-1）^{2}}{4{x}^{2}}＞0$，
∴g（x）在（0，1）上为增函数，则g（x）＞g（1）=0，即$\frac{{x}^{2}-1}{2x}＞lnx$．
∴不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}$恒成立．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，训练了利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数研究函数的最值，是中档题．