Question

16．定义在R上的奇函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf（x-1）≥0的解集为[-1，0]∪[1，3]．

Answer 1

分析 根据奇函数的性质求出f（-2）=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象并对x分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．

解答 解：∵f（x）为奇函数，且f（2）=0，在（-∞，0）是减函数，
∴f（-2）=-f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，
函数图象示意图：其中f（0）=0，
∵xf（x-1）≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{f（x-1）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得-1≤x≤0或1≤x≤3，
∴不等式的解集是[-1，0]∪[1，3]，
故答案为：[-1，0]∪[1，3]．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，正确画出函数的示意图是解题的关键，考查分类讨论思想和数形结合思想．